Audiophile and pure chance

Saturday, September 9, 2023, 12:30 AM

Audiophile, Probability, Binomial distribution

ทำไมการทดสอบว่าสายแลนหรือเราเตอร์มีผลต่อคุณภาพเสียงหรือไม่ โดยตั้งโจทย์การทดลองแบบ blind / double blind test 20 ครั้ง ถึงไม่สามารถแปลผลอย่างง่ายๆว่า ถ้าถูกเกิน 10 ครั้งถือว่ามีผลจริงๆได้

โอกาสที่จะเดาถูก

ถ้าเอาคนที่”หูกาก”มาฟังเสียง 20 ครั้งแล้วเดาอย่างสุ่ม(หรือโยนเหรียญก็ได้) เขาจะทายถูกกี่ครั้ง?

เราไม่สามารถฟันธงได้ว่าเขาจะทายถูก 10 ครั้งเสมอได้

โอกาสที่เขาจจะทายถูกทั้ง 20 ครั้งคือ $0.5^{20}$ หรือประมาณ 0.000095 % พอๆกับโอกาสถูกล็อตเตอรีรางวัลที่ 1 ที่หนึ่งในล้าน

ถ้านำผลลัพธ์การทายมาเขียน โดยให้ T แทนการทายถูกและ F แทนการทายผิด

TTTTT TTTTT TTTTT TTTTT จะมีความน่าจะเป็น 0.00000095 (ไม่ใช่เปอร์เซ็นต์)

และโอกาสที่จะทายถูก 1 ครั้งเท่านั้นจะคิดได้จาก (โอกาสที่จะทายถูกครั้งแรก + โอกาสที่จะทายถูกครั้งที่สอง + … โอกาสที่จะทายถูกครั้งที่ยี่สิบ) ซึ่งมีจำนวนวิธี 20 แบบ

จำนวนวิธีที่จะทายถูก n ครั้งจากการทดสอบ N ครั้งคือ $(^N_i)$ หรือ $\frac{N!}{n!(N-n)!}$

ซึ่งแต่ละวิธีมีโอกาสเท่าๆกัน คือ $0.5^{N}$ เพราะฉะนั้นโอกาสที่จะทายถูก n ครั้งจาก N คือ $\frac{N!}{n!(N-n)!}0.5^N$

และความน่าจะเป็นที่จะทายถูก”ไม่เกิน” n ครั้งจาก N ก็คือ $\sum_{i=0}^{n} \frac{N!}{i!(N-i)!}0.5^N$

ซึ่งก็คือ Binomial distribution ที่ p = 0.5

ซึ่งถ้าเราอยากให้ความน่าจะเป็นที่คนหูกากจะโชคดีเดาถูกซะเยอะ น้อยกว่า 1% เราก็หาค่า n ว่าค่าเท่าไหร่ที่ทำให้โอกาสที่จะเดาถูกไม่เกิน n ครั้งมีมากกว่า 99%

ซึ่งออกมาที่ 15 ครั้งแปลว่าต้องทายให้ได้ 16 ครั้งขึ้นไป